解题思路:(1)小球在恒定推力作用下,在光滑水平面做匀加速直线,当到达B点撤去恒力,让其在沿光滑半圆轨道运动到C处后,又正好落回A点.因小球离开C点后做平抛运动,已知高度与水平位移的情况下,可求出小球在C处的速度大小,选取从A到C过程,由动能定理可求出推力对小球所做的功.
(2)力F做功越小,小球到达B点的速度越小,到达最高点C的速度越小,当小球恰好到达C点时,由重力充当向心力,此时C点的速度最小,力F做功最小.先由牛顿第二定律求出小球通过C点的最小速度,根据(1)问的结果求出x,即可得到最小功;
(1)质点从半圆弧轨道做平抛运动又回到A点,设质点在C点的速度为vC,质点从C点运动到A点所用的时间为t,在水平方向x=vCt
竖直方向上2R=[1/2]gt2,
解①②式有vC=
x
2
g
R
对质点从A到C由动能定理有WF-mg•2R=[1/2]mvC2
解WF=
mg(16R2+x2)
8R
(2)要使力F做功最少,确定x的取值,由WF=2mgR+[1/2]mvC2知,只要质点在C点速度最小,则功WF就最小,就是物理极值.
若质点恰好能通过C点,其在C点最小速度为v,由牛顿第二定律有
mg=
mv2
R,则v=
Rg
当x=vt=
Rg×2
R
g=2R时,
WF最小,最小的功WF=[5/2]mgR.
答:(1)推力对小球所做的功为
mg(16R2+x2)
8R.
(2)x取2R时,使质点完成BC段运动后落回水平面,水平恒力所做的功最少,最小功为[5/2]mgR.
点评:
本题考点: 动能定理的应用.
考点点评: 本题要挖掘隐含的临界条件:小球通过C点的最小速度为gR,由动能定理求解F做功,再运用数学不等式知识求解极值.