解题思路：（1）由题设条件知a1=1．当n=2时，有a13+a23=（a1+a2）2，由此可知a2=2．
（2）由题意知，an+13=（a1+a2++an+an+1）2-（a1+a2++an）2，由于an＞0，所以an+12=2（a1+a2++an）+an+1．同样有an2=2（a1+a2++an-1）+an（n≥2），由此得an+12-an2=an+1+an．所以an+1-an=1．所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列．
（3）由（2）知an=n，
1
a
n
a
n+2
]=
1
n(n+2)
=
1
2
(
1
n
−
1
n+2
)
，再用裂项求和法能够推导出实数a的取值范围．
（1）∵数列{an}满足对任意的n∈N*，
都有a13+a23+…+an3=（a1+a2+…+an）2且an＞0．
∴a13＝a12，∵a1＞0，解得a1=1．
1+a23=（1+a2）2，∵a2＞0，解得a2=2．
（2）∵a13+a23+…+an3=（a1+a2+…+an）2，①
∴a13+a23+…+an+13=（a1+a2+…+an+1）2，②
②-①，得：an+13＝(a1+a2+…+an+1)2-（a1+a2+…+an）2，
∵an＞0，∴an+12＝2(a1+a2+…+an)+an+1，③
同理，an2＝2(a1+a2+…+an−1)+an，n≥2，④
③-④，得an+12−an2＝an+1+an，
∴an+1-an=1，
∵a2-a1=1，∴当n≥1时有an+1-an=1，
∴{an}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴an=n．
（3）[1
anan+2=
1
n(n+2)=
1/2(
1
n−
1
n+2)，
∴Sn＝
1
2(1−
1
3+
1
2−
1
4+
1
3−
1
5+…+
1
n−
1
n+2]）
=[1/2(1+
1
2−
1
n+1−
1
n+2)
=
点评：
本题考点： 数列的求和；数列递推式．
考点点评： 本题主要考查数列通项、求和与不等式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识
1年前
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