三角形ABC中,已知：AB=2,BC=1,CA=√

三角形ABC中,已知：AB=2,BC=1,CA=√3,分别在边AB,BC,CA上取点DEF,使三角形DEF是等边三角形,

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首先,由于 ,可知△ABC为Rt△,其中AB为斜边,所对角∠C为直角,又由于 ,则∠B= 90°—∠A=60°,由于本题要计算△DEF的最短边长,故必要设正△DEF的边长为x ,且要列出有关为未知数的方程,对观察△BDE,已知：∠B=60°,DE=x,再想办法找出另两个量,即可根据正弦定理列出等式,从而产生关于的方程.在图中,由于EC= xcosα,则BE=BC-EC=1- xcosα.而∠B+∠BDE+∠1=180° ∠α+∠DEF+∠1=180° 推出 ∠BDE=∠α ∠B=60°,∠DEF=60° ∴在△BDE中,根据正弦定理：BF/sinBDE=DE/sinB 算出x和α的关系：x=(√3/2)/(√3/2*cosα+sinα),也就是说分母取得最大值,才能使得x有最小值.把√3/2*cosα+sinα变换√7/2（√21/7*cosα+2√7/7*sinα)令sinA=√21/7,则cosA=2√7/7,然后变换成√7/2*sin（A+α） sin（A+α）的最大值为1,A+α=2kπ+π/2,α=2kπ+π/2-A,所以sinα=cosA=2√7/7.即当sinα=2√7/7时,三角形DEF边长最短,最短值为√21/7