已知可导函数y=f(x)满足f(x-2)=f(-x),函数y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x+

1个回答

  • 解题思路:利用导数的几何意义是切线的斜率,可求f′(1)的值,先确定确定坐标,再求出切线斜率,即可得到结论.

    ∵导数的几何意义是切线的斜率,

    ∴f′(1)就是函数y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线的斜率,故f′(1)=2

    ∵f(x-2)=f(-x),

    ∴f(-3)=f(-1-2)=f[-(-1)]=f(1)

    又函数y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x+1

    ∴点(1,f(1))满足切线方程,即f(1)=2×1+1=3

    故f(-3)=f(1)=3

    然后只要解出f′(-3)就行了.

    对f(x-2)=f(-x)的等号两边同时求导得:f′(x-2)×(x-2)′=f′(-x)×(-x)′

    即f′(x-2)=-f′(-x)

    ∴f′(-3)=f′(-1-2)=-f′[-(-1)]=-f′(1)=-2

    ∴切线方程为y-f(-3)=f′(-3)(x-(-3)),即y-3=-2(x+3)

    化为斜截式得:y=-2x-3

    故答案为:2,y=-2x-3.

    点评:

    本题考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程.

    考点点评: 本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查学生分析解决问题的能力,确定切线的斜率与切点的坐标是关键.