Question

设A为n阶矩阵，|A|≠0，A*为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵．若A有特征值λ，则（A*）2+E必有特征值______

Answer 1

解题思路：根据矩阵A的特征值求出伴随矩阵A^*的特征值，而单位矩阵肯定有特征值1，然后再根据特征值的定义，就可以求出（A^*）²+E的特征值了．

假设λ是A的任意一个特征值，其对应的特征向量为x，

则由|A|≠0知λ≠0，且Ax=λx （x≠0），得：

A−1x＝

1

λx，

于是，|A|A−1x＝

|A|

λx，

而：|A|A^-1=A^*，

则：A*x＝

|A|

λx，

于是：(A*)2x＝(

|A|

λ)2x，

有：[(A*)2+E]x＝[(

|A|

λ)2+1]x，

从而：[（A^*）²+E]必有特征值(

|A|

λ)2+1．

点评：

本题考点： 矩阵的特征值和特征向量的求解．

考点点评： 熟悉矩阵特征值的定义和伴随矩阵域逆矩阵的性质，就能较快解决此问题．