1/[1+(cotx)^2007]=1/[1+(cosx/sinx)^2007]=(sinx)^2007/[(sinx)^2007+(cosx)^2007]
观察这种形式（含有sinx,cosx）,要用定积分的一个性质：
∫(0,π/2) f(sinx)dx=∫(0,π/2) f(cosx)dx ①式
（即把sinx与cosx互相替换）
对本题,有
原积分=∫(0,π/2) f(sinx)dx
=∫(0,π/2) f(cosx)dx
=∫(0,π/2) (cosx)^2007/[(cosx)^2007+(sinx)^2007]
=1/2·∫(0,π/2) (sinx)^2007/[(sinx)^2007+(cosx)^2007]+(cosx)^2007/[(cosx)^2007+(sinx)^2007]dx
=1/2·∫(0,π/2) dx
=π/4
若要证明 ①式,用变量代换
令t=π/2-x,则dt=-dx
∫(0,π/2) f(sinx)dx=∫(π/2,0) f(cost) (-dt)=∫(0,π/2) f(cost)dt=∫(0,π/2) f(cosx)dx
希望我的解答对你有所帮助
别忘了及时采纳哦!