Question

在平面上任给n个点P1,P2,…,Pn,证明在单位圆周上存在点A满足|AP1|*|AP2|*…*|APn|>=1

Answer 1

利用复变函数证明.

设P1,P2,...,Pn在复平面上表示成复数为z1,z2,...,zn

定义n次多项式P(z) = (z-z1)(z-z2)...(z-zn)

只要证明在|z|=1上,max |P(z)| >= 1

（由于单位圆是紧的,所以最大模肯定能取到）

考虑函数G(z) = P(z)/z^n

作变换w = 1/z,得G(w) = (1-z1*w)(1-z2*w)...(1-zn*w),由于G(w)是解析函数,其最大模在边界上取到,而G(0) = 1,所以在单位圆|w|=1上max |G(w)| >= 1

而|w| = 1时,|G(w)| = |P(z)/z^n| = |P(z)|,且|z| = |1/w| = 1

这就证明了|z| = 1时,max |P(z)| >= 1