(2014•蚌埠二模)已知数列{an},{cn}满足条件:a1=1,an+1=2an+1,cn=1(2n+1)(2n+3

1个回答

  • 解题思路:(Ⅰ)由an+1=2an+1,知an+1+1=2(an+1),由此能证明数列{an+1}是等比数列,并求出数列{an}的通项公式.

    (Ⅱ)由

    c

    n

    1

    (2n+1)(2n+3)

    1

    2

    (

    1

    2n+1

    1

    2n+3

    )

    ,用裂项求和法求出Tn=[n/6n+9],由此能求出使得

    T

    n

    1

    a

    m

    对任意n∈N*都成立的正整数m的最小值.

    (本小题满分12分)

    (Ⅰ)∵an+1=2an+1

    ∴an+1+1=2(an+1),

    ∵a1=1,a1+1=2≠0…(2分)

    ∴数列{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列.

    ∴an+1=2×2n−1,

    ∴an=2n−1.…(4分)

    (Ⅱ)∵cn=

    1

    (2n+1)(2n+3)=

    1

    2(

    1

    2n+1−

    1

    2n+3),…(6分)

    ∴Tn=

    1

    2(

    1

    3−

    1

    5+

    1

    5−

    1

    7+…+

    1

    2n+1−

    1

    2n+3)

    =[1/2(

    1

    3−

    1

    2n+3)=

    n

    3×(2n+3)=

    n

    6n+9].…(8分)

    Tn+1

    Tn=

    n+1

    6n+15•

    6n+9

    n=

    6n2+15n+9

    6n2+15n=1+

    9

    6n2+15n>1,

    又Tn>0,

    ∴Tn<Tn+1,n∈N*,即数列{Tn}是递增数列.

    ∴当n=1时,Tn取得最小值[1/15].…(10分)

    要使得Tn>

    1

    am对任意n∈N*都成立,

    结合(Ⅰ)的结果,只需[1/15>

    1

    2m−1],

    由此得m>4.

    ∴正整数m的最小值是5.…(12分)

    点评:

    本题考点: 数列的求和;等比数列的性质.

    考点点评: 本题考查数列是等比数列的证明,考查数列的通项公式的求法,考查满足条件的正整数的最小值的求法.解题时要认真审题,注意构造法和裂项求和法的合理运用.