Question

空间立体几何题在棱长为1的正方体内,有两球相切,并且又分别与正方体内切,求两球半径之和,球的半径是多少时 两球体积最小

Answer 1

设：两球半径分别为R,r 则 R+r+√3（R+r）= √3（正方体对角线与边长之比为√3） 所以R+r=√3/（1+√3） V=4/3×π（R^3+r^3)=4/3×π(R+r)(R^2+r^2-Rr)=4/3×π×(R+r)×(R^2+r^2+2Rr-3Rr)=4/3×π×(R+r)×＜(R+r)^2-3Rr＞ （中括号打不出用不等号代替了） R+r为定值 rR≤（R+r）^2 /4 当且仅当R=r时等号成立 即R=r=√3/2（1+√3） 时 V最小为 √3π/(10+6√3)