Question

已知等比数列{an}中，a1=3，a4=81，若数列{bn}满足bn=log3an，则数列{[1bnbn+1

Answer 1

解题思路：先根据等比数列通项公式求出a_n，进而可求得b_n，利用裂项相消法可求得S_n．

设公比为q，则a₄=a₁q³=3q³=81，

解得q=3，所以a_n=3×3^n-1=3ⁿ，

b_n=log₃a_n=log33n=n，所以

1

bnbn+1=

1

n(n+1)=

1/n−

1

n+1]，

S_n=[1

b1b2+

1

b2b3+…+

1

bnbn+1=1-

1/2]+

1

2−

1

3+…+[1/n−

1

n+1]

=1-[1/n+1]=[n/n+1]，

故答案为：[n/n+1]．

点评：

本题考点： 数列的求和；等比数列的通项公式．

考点点评： 本题考查等比数列的通项公式、数列求和，考查裂项相消法求和，若数列{an}为等差数列，公差d≠0，则数列{[1anan+1}的前n项和可运用裂项相消法求和，其中1anan+1=1/d]（1an−1an+1）．