Question

三角形的2条角平分线等长,证明该三角形是等腰三角形.

Answer 1

没说不让用三角函数吧!

三角形ABC中,叫分线BD,CE

设∠ABC=2α,∠ACB=2β,BD=CE=x,BC=y

三角形中由正弦定理得

x y

———＝———————

sin2β 　sin(π-α-2β)

x y

———＝———————

sin2α sin(π-2α-β)

sin2α 　sin2α·cosβ+cos2α·sinβ

———＝———————————

sin2β 　cosα·sin2β+sinα·cos2β

整理得 (sinα)^2·cosα·(cosβ)^2-(sinα)^2·cosα·(sinβ)^2+ 2sinα·(cosα)^2·sinβ·cosβ

=(cosα)^2·(sinβ)^2·cosβ-(sinα)^2·(sinβ)^2·cosβ +2sinα·cosα·sinβ·(cosβ)^2

即

[cosα(cosβ)^2-(cosα)^2·(cosβ)^2·cosα]-

(sinα)^2·(sinβ)^2·cosα+

(2sinαcosαsinβcosβ)cosα

=[(cosα)^2·cosβ-(cosα)^2·(cosβ)^2·cosβ]-

(sinα)^2·(sinβ)^2·cosβ+

(2sinαcosαsinβcosβ)cosβ

所以

(cosα-cosβ)[sinαsinβ-cosαcosβ)^2+cosαcosβ]=0

则

cosα=cosβ

在三角形中

α=β

所以三角形ABC为等腰三角形