Question

设函数f(x)在[a,b]上连续,且f（a）＝f（b）,证明:对于任意的正整数n,存在一个区间[

Answer 1

本题就是要证明对任意n,存在ξ,使得f[ξ+(b-a)/n]=f(ξ),于是问题转化为证明函数F(x)=f[x+(b-a)/n]-f(x)存在零点.对区间[a.b]插入n-1个等分点,记分点为x1,x2,x(n-1),（令x0=a,xn=b）这里xi=a+i(b-a)/n,因此x(i+1)=xi+(b-a)/n,对每个分点计算F(x),有F(0)=f(x1)-f(0),F(x1)=f(x2)-f(x1),F(x(n-1))=f(1)-f(x(n-1)),把以上这些式子相加,得F(0)+F(x1)+...+F(x(n-1))=f(1)-f(0)=0,如果F(0),f(x1),f(x(n-1))这一系列函数值中有某个值F(xi)=0,则xi就是要证明存在的零点,否则,这些函数值不可能同号,即一定存在xi和xj,使得F(xi)F(xj)