解题思路:假设
a+
1
b
,b+
1
c
,c+
1
a
都小于2,相加可得
(a+
1
b
)+(b+
1
c
)+(c+
1
a
)<6
.再结合基本不等式,引出矛盾,即可得出结论.
证明:假设a+
1
b,b+
1
c,c+
1
a都小于2,则(a+
1
b)+(b+
1
c)+(c+
1
a)<6.
∵a、b、c∈R+,
∴(a+
1
b)+(b+
1
c)+(c+
1
a)=(a+
1
a)+(b+
1
b)+(c+
1
c)≥2+2+2=6,矛盾.
∴a+
1
b,b+
1
c,c+
1
a中至少有一个不小于2.
点评:
本题考点: 反证法与放缩法.
考点点评: 用反证法证明数学命题的方法和步骤,把要证的结论进行否定,得到要证的结论的反面,是解题的突破口,属于中档题.