设a、b、c均为正实数,求证:三个数a+[1/b],b+1c,c+[1/a]中至少有一个不小于2.

1个回答

  • 解题思路:假设

    a+

    1

    b

    ,b+

    1

    c

    ,c+

    1

    a

    都小于2,相加可得

    (a+

    1

    b

    )+(b+

    1

    c

    )+(c+

    1

    a

    )<6

    .再结合基本不等式,引出矛盾,即可得出结论.

    证明:假设a+

    1

    b,b+

    1

    c,c+

    1

    a都小于2,则(a+

    1

    b)+(b+

    1

    c)+(c+

    1

    a)<6.

    ∵a、b、c∈R+

    ∴(a+

    1

    b)+(b+

    1

    c)+(c+

    1

    a)=(a+

    1

    a)+(b+

    1

    b)+(c+

    1

    c)≥2+2+2=6,矛盾.

    ∴a+

    1

    b,b+

    1

    c,c+

    1

    a中至少有一个不小于2.

    点评:

    本题考点: 反证法与放缩法.

    考点点评: 用反证法证明数学命题的方法和步骤,把要证的结论进行否定,得到要证的结论的反面,是解题的突破口,属于中档题.