设两个随机变量X,Y相互独立,且都服从均值为0、方差为[1/2]的正态分布,求随机变量|X-Y|的方差.

1个回答

  • 解题思路:先将X-Y的期望和方差计算出来,进而指出X-Y所服从的分布,再计算D|X-Y|.

    令:Z=X-Y,

    则由于X,Y相互独立,且服从正态分布,因而Z也服从正态分布,

    且EZ=EX-EY=0-0=0,DZ=D(X-Y)=DX+DY=[1/2+

    1

    2=1,

    因此,Z=X-Y~N(0,1),

    ∴E|X-Y|=E|Z|=

    ∫+∞−∞|z|

    1

    2πe−

    z2

    2]dz=

    2

    ∫+∞0ze−

    z2

    2dz=−

    4

    2πe−

    z2

    2

    |+∞0=

    2

    π,

    又:D|X-Y|=D|Z|=E|Z|2-[E|Z|]2=EZ2-[E|Z|]2=DZ+[EZ]2-[E|Z|]2=1+0-[E|Z|]2=1-[E|Z|]2

    ∴D|X−Y|=1−

    2

    π.

    点评:

    本题考点: 正态分布的数学期望和方差.

    考点点评: 将所要求的方差转化为已知的方差和期望来求,会减少计算量.此题当然也可以用方差的定义来求.