解题思路:先将X-Y的期望和方差计算出来,进而指出X-Y所服从的分布,再计算D|X-Y|.
令:Z=X-Y,
则由于X,Y相互独立,且服从正态分布,因而Z也服从正态分布,
且EZ=EX-EY=0-0=0,DZ=D(X-Y)=DX+DY=[1/2+
1
2=1,
因此,Z=X-Y~N(0,1),
∴E|X-Y|=E|Z|=
∫+∞−∞|z|
1
2πe−
z2
2]dz=
2
2π
∫+∞0ze−
z2
2dz=−
4
2πe−
z2
2
|+∞0=
2
π,
又:D|X-Y|=D|Z|=E|Z|2-[E|Z|]2=EZ2-[E|Z|]2=DZ+[EZ]2-[E|Z|]2=1+0-[E|Z|]2=1-[E|Z|]2,
∴D|X−Y|=1−
2
π.
点评:
本题考点: 正态分布的数学期望和方差.
考点点评: 将所要求的方差转化为已知的方差和期望来求,会减少计算量.此题当然也可以用方差的定义来求.