Question

已知函数f（x）满足对于任意实数x∈R，均有f（x）+2f（-x）=ex+2（[1/e]）x+x成立．

Answer 1

解题思路：（1）利用已知条件以-x换x，得到方程组，求出函数的解析式，求出函数的导函数，利用函数的单调性求解函数的最大值．

（2）利用（1）的结论，推出e^x≥x+1，得到1-[k/n]≤

e

−

k

n

，利用放缩法以及等比数列求和推出结果．

（1）依题意得

f(x)+2f(−x)＝ex+2(

1

e)x+x

f(−x)+2f(x)＝(

1

e)x+2ex−x

解之得f（x）=e^x-x，f′（x）=e^x-1，

当x＞0时f′（x）＞0当x＜0时f′（x）＜0

∴f（x）在（-∞，0）上递减在（0，+∞）上递增

∴f（x）_min=f（0）=1

（2）由（1）得 e^x-x≥1恒成立，则e^x≥x+1

在e^x≥x+1中令x＝−

k

n(k＝1，2，…，n−1)

∴1-[k/n]≤e−

k

n，∴(1−

k

n)n≤e−k，

∴(1−

1

n)n≤e−1，(1−

2

n)n≤e−2，…，(1−

n−1

n)n≤e−(n−1)，(

n

n)n＝1，

∴(

n

n)n+(

n−1

n)n+(

n−2

n)n+…+(

1

n)n≤1+e−1+e−2+…+e−(n−1)＝

1−(

1

e)n

1−

1

e＝

e[1−(

1

e)

点评：

本题考点： 反证法与放缩法；抽象函数及其应用．

考点点评： 本题考查函数的导数以及最大值的求法，放缩法证明不等式以及数列求和指数的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．