Question

n阶矩阵A,A^k=0,证E-A可逆,用特征值法证明.

Answer 1

先证A的特征值只有0；

反证法：假设A有一个特征值t不等于0；

那么,根据特征向量的定义,存在X不等于0,

AX=tX；

又A^K=0

则0=(A^k)X=A^(k-1)(tX)=tA^(k-1)X=……=(t^k)X

又t不等于0,t^k不等于0,所以X=0,

与X不等于0矛盾.

所以,A的特征值只有0.

所以1不是特征值.

所以|E-A|不等于0；

所以E-A可逆.