一、选择题（共5小题,每小题7分,共35分. 以下每道小题均给出了代号为a,b,c,d的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分）
1．已知非零实数a,b 满足 ,则等于（ ）．
（a）－1 （b）0 （c）1 （d）2
【答】c．
由题设知a≥3,所以,题设的等式为,于是,从而＝1．
2．如图,菱形abcd的边长为a,点o是对角线ac上的一点,且oa＝a,ob＝oc＝od＝1,则a等于（ ）．
（第2题）
（a） （b） （c）1 （d）2
【答】a．
因为△boc ∽ △abc,所以,即
,
所以, ．
由,解得．
3．将一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先
后投掷两次,记第一次掷出的点数为,第二次掷出的点数为,则使关于x,y的方程组 只有正数解的概率为（ ）．
（a） （b） （c） （d）
【答】d．
当时,方程组无解．
当时,方程组的解为
由已知,得即或
由,的实际意义为1,2,3,4,5,6,可得
共有 5×2＝10种情况；或共3种情况．
又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况,故所求的概率为．
4．如图1所示,在直角梯形abcd中,ab‖dc,. 动点p从点
b出发,沿梯形的边由b→c→d→a运动. 设点p运动的路程为x,△abp的面积为y. 把y看作x的函数,函数的图像如图2所示,则△abc的面积为（ ）．
（a）10 （b）16 （c）18 （d）32
（第4题）
图2
图1
【答】b．
根据图像可得bc＝4,cd＝5,da＝5,进而求得ab＝8,故
s△abc＝×8×4＝16.
5．关于x,y的方程的整数解（x,y）的组数为（ ）．
（a）2组 （b）3组 （c）4组 （d）无穷多组
【答】c．
可将原方程视为关于的二次方程,将其变形为
．
由于该方程有整数根,则判别式≥,且是完全平方数．
由 ≥,
解得 ≤．于是
0
1
4
9
16
116
109
88
53
4
显然,只有时,是完全平方数,符合要求．
当时,原方程为,此时；
当y＝－4时,原方程为,此时．
所以,原方程的整数解为
二、填空题（共5小题,每小题7分,共35分）
6．一个自行车轮胎,若把它安装在前轮,则自行车行驶5000 km后报废；若把它安装在后轮,则自行车行驶 3000 km后报废,行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎,要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废,那么这辆车将能行驶 km ．
【答】3750．
设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km
磨损量为,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为.又设一对新轮胎交换位置前走了x km,交换位置后走了y km.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有
两式相加,得 ,
则 ．
7．已知线段ab的中点为c,以点a为圆心,ab的长为半径作圆,在线段ab的延长线上取点d,使得bd＝ac；再以点d为圆心,da的长为半径作圆,与⊙a分别相交于f,g两点,连接fg交ab于点h,则的值为 ．
如图,延长ad与⊙d交于点e,连接af,ef ．
由题设知,在△fha和△efa中,
,
所以 rt△fha∽rt△efa,
.
（第7题）
而,所以.
8．已知是满足条件的五个不同的整数,若是关于x的方程的整数根,则的值为 ．
【答】 10．
因为,且是五个不同的整数,所有也是五个不同的整数．
又因为,所以
．
由,可得．
9．如图,在△abc中,cd是高,ce为的平分线．若ac＝15,bc＝20,cd＝12,则ce的长等于 ．
【答】．
如图,由勾股定理知ad＝9,bd＝16,所以ab＝ad＋bd＝25 ．
故由勾股定理逆定理知△acb为直角三角形,且．
作ef⊥bc,垂足为f．设ef＝x,由,得cf＝x,于是bf＝20－x．由于ef‖ac,所以
,
（第9题）
即 ,
解得．所以．
（第10题）
10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数,并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人,然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示,则报3的人心里想的数是 ．
【答】．
设报3的人心里想的数是,则报5的人心里想的数应是．
于是报7的人心里想的数是 ,报9的人心里想的数是 ,报1的人心里想的数是 ,报3的人心里想的数是．所以
,
解得．
三、解答题（共4题,每题20分,共80分）
11．函数的图像与轴的两个交点是否都在直线的右侧?若是,请说明理由；若不一定是,请求出两个交点都在直线的右侧时k的取值范围．
不一定,例如,当k＝0时,函数的图像与x轴的交点为（0,0）和
（1,0）,不都在直线的右侧． ………………5分
设函数与x轴的两交点的横坐标为,则,当
且仅当满足如下条件
………………10分
时,抛物线与轴的两交点都在直线的右侧．
由
解之,得 ………………15分
所以当时,抛物线与轴的两交点在直线的右侧．
………………20分
12．在平面直角坐标系中,我们把横坐标为整数、纵坐标为完全平方数的点称为“好点”,求二次函数的图像上所有“好点”的坐标．
设,m,k都是非负整数,则
,
即 ． ……………10分
则有
解得
所以
故“好点”共有4个,它们的坐标是：
………………20分
13．如图,给定锐角三角形abc,ad,be是它的两条高,过点作△abc的外接圆的切线,过点d,e分别作的垂线,垂足分别为f,g．试比较线段df和eg的大小,并证明你的结论．
解法1：结论是．下面给出证明． ………………5分
因为,所以rt△fcd ∽ rt△eab．于是可得
．
同理可得 ．
（第13a题）
………………10分
又因为,所以有,于是可得
． ………………20分
解法2：结论是．下面给出证明．
……………… 5分
（第13a题）
连接de,因为,所以a,b,d,e四点共圆,故
． ………………10分
又l是⊙o的过点c的切线,所以． ………………15分
所以,于是de‖fg,故df＝eg．
………………20分
14．n个正整数满足如下条件：；
且中任意n－1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n的最大值．
设中去掉后剩下的n－1个数的算术平均数为正整数,．即 ．
于是,对于任意的1≤≤n,都有
,
从而 ． ………………5分
由于 是正整数,故
． ………………10分
由于
≥,
所以,≤2008,于是n ≤45.
结合,所以,n ≤9． ………………15分
另一方面,令,…,
,则这9个数满足题设要求．
综上所述,n的最大值为9. ………………