由于点D在直线AC上,所以可以用一个参数t来表示点D的坐标.
由点A(1,-1,2)和C(1,3,-1),可设点D的坐标是(x,y,z),其中
x＝1*t＋1*(1－t)＝1,
y＝-1*t＋3*(1－t)＝3－4t,
z＝2*t＋(－1)*(1－t)＝3t－1.
这时可以写出向量BD＝(－4,9－4t,3t－3),向量AC＝(0,4,－3).因为BD是边AC上的高,所以向量BD与向量AC的内积等于零,由此得
4*(9－4t)－3*(3t－3)＝0
解得t＝9/5
得向量BD＝(－4,9/5,12/5),所以BD的长即向量BD的模为5.
为什么要(1－t)呢?
这个是向量中的一个基本结论,设向量OA、向量OB和向量OC,若A、B和C三点共线,则有向量OC＝t*向量OA＋(1-t)*向量OB,t为实数.这其实是个向量组合的问题.把这三个向量的坐标代进去,就可以得到关于坐标的类似的表达式,也就是上面所用到的.