请教一道定积分不等式的证明题,第十二题.

2个回答

  • 设 g(x) = (x-a) * 【ln [ ∫ (0x) f(t)dt ] - ln(x-a)】 - ∫ (0x) ln f(t) dt

    g(a+0) = 0

    g '(x) = ln [ ∫ (0x) f(t)dt ] - ln(x-a) + (x-a) * f(x) / [ ∫ (0x) f(t)dt ] - 1 - ln f(x)

    = ln【 ∫ (0x) f(t)dt / [ (x-a) f(x)]】- 1 + (x-a) * f(x) / [ ∫ (0x) f(t)dt ]

    令 u = (x-a) * f(x) / [ ∫ (0x) f(t)dt ] ,u>0,g '(x) = u - lnu - 1

    h(u) = u - lnu - 1 在 u =1 取得最小值 h(1)=0 => h(u) ≥ 0

    即 g '(x) ≥ 0,g(x) 单增,当 x∈(a,b] 时,g(x) ≥ g(a+0) = 0

    g(b) ≥ 0 => 原不等式成立.

    遇到类似的题目,尽管不等号两边都是常量,有时可以考虑化成函数来解决问题.