Question

如图，已知曲线C 1 ：y=x 2 与曲线C 2 ：y=-x 2 +2ax（a＞1）交于点O，A，直线x=t（0＜t≤1

Answer 1

解析（1）由

y= x 2

y=- x 2 +2ax 解得

x=0

y=0 或

x=a

y= a 2 ．

∴O（0，0），A（a，a ²）．又由已知得B（t，-t ²+2at），D（t，t ²），

∴S=

∫ t0 （-x ²+2ax）dx-

1

2 t×t ²+

1

2 （-t ²+2at-t ²）×（a-t）

=（-

1

3 x ³+ax ²）|

t0 -

1

2 t ³+（-t ²+at）×（a-t）=-

1

3 t ³+at ²-

1

2 t ³+t ³-2at ²+a ²t=

1

6 t ³-at ²+a ²t．

∴S=f（t）=

1

6 t ³-at ²+a ²t（0＜t≤1）．

（2）f′（t）=

1

2 t ²-2at+a ²，令f′（t）=0，即

1

2 t ²-2at+a ²=0．解得t=（2-

2 ）a或t=（2+

2 ）a．

∵0＜t≤1，a＞1，∴t=（2+

2 ）a应舍去．

若（2-

2 ）a≥1，即a≥

1

2-

2 =

2+

2

2 时，

∵0＜t≤1，∴f′（t）≥0．

∴f（t）在区间（0，1]上单调递增，S的最大值是f（1）=a ²-a+

1

6 ．

若（2-

2 ）a＜1，即1＜a＜

2+

2

2 时，当0＜t＜（2-

2 ）a时f′（t）＞0．当（2-

2 ）a＜t≤1时，f′（t）＜0．

∴f（t）在区间（0，（2-

2 ）a]上单调递增，在区间（（2-

2 ）a，1]上单调递减．

∴f（t）的最大值是f（（2-

2 ）a）=

1

6 [（2-

2 ）a] ³-a[（2-

2 ）a] ²+a ²（2-

2 ）a=

2

2 -2

3 a ³．