解题思路：（1）把原抛物线解析式配成顶点式得到抛物线顶点坐标为（-m-12，-m-54），由于横纵坐标之差为常数，则可判断点（-m-12，-m-54）在直线x-y=34上，（2）设与L1：y=x-34平行的直线为y=x+b，根据两函数图象的交点问题得到y＝x+by＝x2+(2m+1)x+m2−1，消去y得x2+2mx+m2-1-b=0，利用根与系数的关系表示出两交点的横坐标之差，再利用直线的性质得到两交点的距离等于两横坐标之差的绝对值的2倍，而表示线段长的代数式与m无关，只与b有关，于是可判断任一平行L1且与抛物线相交的直线，被各抛物线截得的线段长相等．
证明：（1）∵y=x2+（2m+1）x+m2-1
=（x+m+[1/2]）2+m-[5/4]，
∴抛物线顶点坐标为（-m-[1/2]，-m-[5/4]），
∵-m-[1/2]-m+[5/4]=[3/4]
∴点（-m-[1/2]，-m-[5/4]）在直线x-y=[3/4]上，
即不论m为何值，函数图象顶点都在同一直线y=x-[3/4]上；
（2）设与L1：y=x-[3/4]平行的直线为y=x+b，
∴
y＝x+b
y＝x2+(2m+1)x+m2−1，
∴x2+2mx+m2-1-b=0，
设直线y=x+b与抛物线的交点的横坐标分别为p、q，则p+q=-2m，pq=m2-1-b=0，
∴|p-q|=
(p+q)2−4pq=
4+4b=2
b+1，
∵直线y=x+b与x轴正方向的交角为45°，
∴直线y=x+b被各抛物线截得的线段长为
2|p-q|=2
2b+2，
此线段长只与b有关，
∴任一平行L1且与抛物线相交的直线，被各抛物线截得的线段长相等．
点评：
本题考点： 二次函数的性质．
考点点评： 本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-b2a，4ac−b24a），对称轴直线x=-b2a，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-b2a时，y随x的增大而减小；x＞-b2a时，y随x的增大而增大；x=-b2a时，y取得最小值4ac−b24a，即顶点是抛物线的最低点．当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-b2a时，y随x的增大而增大；x＞-b2a时，y随x的增大而减小；x=-b2a时，y取得最大值4ac−b24a，即顶点是抛物线的最高点．