Question

已知关于x的方程x2+（a+1）x+b-1=0的两根之比是2：3，判别式的值为1，求方程的根．

Answer 1

解题思路：设方程两根分别为2t，3t，根据判别式的定义得△=（a+1）²-4（b-1）=1，整理得a²+2a=4b-4①，根据根与系数的关系得到2t+3t=-（a+1），2t•3t=b-1，消去t得到6•（-[a+1/5]）²=b-1，整理得6a²+12a=25b-31②，然后把①代入②得6（4b-4）=25b-31，可解得b=7，则a²+2a-24=0，解得a₁=-6，a₂=4，

再把a=-6，b=7和a=4，b=7代入原方程，然后利用因式分解法求解．

设方程两根分别为2t，3t，

根据题意得△=（a+1）²-4（b-1）=1，整理得a²+2a=4b-4①，

2t+3t=-（a+1），2t•3t=b-1，

所以t=-[a+1/5]，6t²=b-1，

所以6•（-[a+1/5]）²=b-1，整理得6a²+12a=25b-31②，

把①代入②得6（4b-4）=25b-31，解得b=7，

则a²+2a=24，即a²+2a-24=0，解得a₁=-6，a₂=4，

当a=-6，b=7时，原方程为x²-5x+6=0，解得x₁=2，x₂=3；

当a=4，b=7时，原方程为x²+5x+6=0，解得x₁=-2，x₂=-3．

点评：

本题考点： 根与系数的关系；根的判别式．

考点点评： 本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=[c/a]．也考查了根的判别式．