20个部分.
1、首先：三角形ABC的任一边,如AB,与另一个三角形DEF的三边中至多两边相交,交点有两个.（这个结论比较简单,你自己考虑一下,相信你能够证明出来的）注意,这里的边是不能延长的.
2、然后：三角形ABC与三角形DEF至多有6个交点.（运用第一个结论就可以得出）
3、其次：每增加一个交点,平面就多分出一部分.（这个结论比较复杂,而且只适用于封闭图形,如圆、三角形,在最后我稍微说明一下）
4、再其次：一个三角形将平面分成两部分.（这个结论很显然）
5、紧接着：两个三角形至多将平面分成8个部分.（因为两个三角形至多6个交点,由结论3可知,平面至多增加6个部分,即2+6=8）
6、最后：三个三角形至多将平面分成20个部分.（在结论5的基础上：8+2*6=20,因为第三个三角形与前两个三角形每个至多交于6点,故至多交于12个点）
最后的最后,解释一下结论3.这个不怎么好解释,你自己慢慢画一下图,然后体会一下.如果这个体会出来了,那此类题目你都会做了.什么4个圆至多将平面分成几个部分,答案是2+2+2*2+3*2=14个（因为两个圆至多交于2点）
再最后,如果把直线看成半径无穷大的圆,而且所有直线都在无穷远这一相同点相交,那么结论3也适用.