Question

若P为标准椭圆上一点 ,F1和F2是焦点,角PF1F2=α,角PF2F1=β,证明(a-c)/(a+b)=tan（α/2

Answer 1

证明:

利用正弦定理：

|PF2|/sinα=|PF1|/sinβ=2c/sin(α+β),

利用等比性质,

∴(|PF2|+|PF1|)/(sinα+sinβ)=2c/sin(α+β),

∵ |PF2|+|PF1|=2a

∴ 2a/(sinα+sinβ)=2c/sin(α+β)

∴ asin(α+β)=c(sinα+sinβ)

∴ 2asin[(α+β)/2]*cos[(α+β)/2]=2c*sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

∴c*cos(α/2-β/2)=acos(α/2+β/2)

∴ (a-c)cos(α/2)cos(β/2)=(a+c)sin(α/2)sin(β/2)

∴ (a-c)/(a+c)= tan(α/2)tan(β/2)