[ e^(x*a)-e^(x*b)]/[x*b-x*a]'
= e^(x*a)-e^(x*b)]/[x*(b-a)]
=1/(b-a){[ e^(x*a)-e^(x*b)]'*x-[ e^(x*a)-e^(x*b)]*(x)'}/x^2
=1/(b-a)[ax*e^(ax)-bxe^(bx)-e^(ax)+e^(bx)]/x^2
=1/(b-a)[(ax-1)*e^(ax)-(bx-1)e^(bx)]/x^2
把x=0代入可以求出分子分母都是0,应用罗必塔法则,即对分母分子分别求导
原式=1/(b-a){a*e^(ax)+a(ax-1)*e^(ax)-b*e^(bx)-b(bx-1)*e^bx}/2x
=1/(b-a)[(ae^(ax)+a^2xe^(ax)-ae^(ax)-b*e^(bx)-b^2xe^(bx)+be^(bx)]/2x
=1/(b-a)[a^2xe^(ax)-b^2xe^(bx)]/2x
=1/(b-a)x[a^2e^(ax)-b^2e^(bx)]/2x
=[a^2e^(ax)-b^2e^(bx)/[2(b-a)]
把x=0代入得
原式=[a^2-b^2]/[2(b-a]
=(a+b)/2