在平行四边形ABCD中取一点P,BP=1,AP=4,PC=5,求PD?

1个回答

  • 过P作EF//AB,E在AD上,F在BC上

    过P作GH//BC,G在AB上,H在CD上

    因为 在平行四边形ABCD中 AB//CD,AD//BC

    所以 AGPE,GBFP,PFCH,EPHD都是平行四边形

    所以 AE=BF=PG,ED=FC=PH,角AEP=角PHC=角ADC,角BFP=角PED=角BCD

    因为 在三角形APE中 角AEP=角ADC,AE=PG

    所以 由余弦定理得 AP^2=PE^2+PG^2-2*PE*PG*Cos角ADC

    同理

    在三角形BFP中有 BP^2=PF^2+PG^2-2*PF*PG*Cos角BCD

    在三角形PCH中有 PC^2=PF^2+PH^2-2*PF*PH*Cos角ADC

    在三角形EPD中有 PD^2=PE^2+PH^2-2*PE*PH*Cos角BCD

    因为 AD//BC

    所以 角ADC+角BCD=180度

    所以 Cos角BCD=-Cos角ADC

    所以

    AP^2=PE^2+PG^2-2*PE*PG*Cos角ADC

    BP^2=PF^2+PG^2+2*PF*PG*Cos角ADC

    PC^2=PF^2+PH^2-2*PF*PH*Cos角ADC

    PD^2=PE^2+PH^2+2*PE*PH*Cos角ADC

    所以

    BP^2+PD^2-2*PF*PG*Cos角ADC-2*PE*PH*Cos角ADC=AP^2+PC^2+2*PE*PG*Cos角ADC+2*PF*PH*Cos角ADC

    因为 PF=AB-PE,PH=AD-PG

    所以

    2*PE*PG*Cos角ADC+2*PF*PH*Cos角ADC+2*PF*PG*Cos角ADC+2*PE*PH*Cos角ADC

    =2AB*AD*Cos角ADC

    所以

    PD^2=AP^2+PC^2-BP^2+2AB*AD*Cos角ADC

    因为

    AP=4,PC=5,BP=1

    所以

    PD=√(40+2AB*AD*Cos角ADC)

    PD的值随角ADC的变化而变

    特殊情况:

    当 角ADC=90度时,Cos角ADC=0

    此时,PD=√40