Question

（2012•鹰潭模拟）设数列{an}的前n项和为Sn，且满足2an−Sn＝1， n∈N*．

Answer 1

解题思路：（1）2a_n+1-S_n+1=1与2a_n-S_n=1相减，可得数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，从而可求数列{a_n}的通项公式；

（2）设a_n和a_n+1两项之间插入n个数后，可求得

d

n

＝

a

n+1

−

a

n

n+1

＝

2

n−1

n+1

，又（1+2+3+…+61）+61=1952，2012-1952=60，从而可求b₂₀₁₂的值；

（3）依题意，b₁+b₂+b₃+…+b_m=

1

2

[3

a

1

+5

a

2

+7

a

3

+…+(2n+1)

a

n

]−

1

2

n

a

n

，考虑到a_n+1=2a_n，令M=3a₁+5a₂+7a₃+…+（2n+1）a_n，则2M=3a₂+5a₃+7a₄+…+（2n+1）a_n+1，求出M=（2n-1）2ⁿ+1，即可得到结论．

（1）当n=1时，2a₁-S₁=1，∴a₁=1．

又2a_n+1-S_n+1=1与2a_n-S_n=1相减得：a_n+1=2a_n，故数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，

所以an＝2n−1；…（4分）

（2）设a_n和a_n+1两项之间插入n个数后，这n+2个数构成的等差数列的公差为d_n，则dn＝

an+1−an

n+1＝

2n−1

n+1，

又（1+2+3+…+61）+62=1952，2012-1952=60，

故b2012＝a62+(60−1)•d62＝261+59×

261

63＝

61

63×262．…（9分）

（3）依题意，b₁+b₂+b₃+…+b_m=

3(a1+a2)

2+

4(a2+a3)

2+

5(a3+a4)

2+…+

(n+1)(an−1+an)

2−(a2+a3+…+an−1)=[1/2[3a1+5a2+7a3+…+(2n+1)an]−

1

2nan，

考虑到a_n+1=2a_n，令M=3a₁+5a₂+7a₃+…+（2n+1）a_n，则2M=3a₂+5a₃+7a₄+…+（2n+1）a_n+1

∴2M-M=-2（a₁+a₂+a₃+…+a_n）-a₁+（2n+1）a_n+1

∴M=（2n-1）2ⁿ+1，

所以b1+b2+b3+…+bm＝

1

2M−

1

2nan＝(3n−2)•2n−2+

1

2]．…（14分）

点评：

本题考点： 数列的求和；等差数列的性质；数列递推式．

考点点评： 本题考查数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，正确理解题意，选择正确的方法是关键．