特性
对于a的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果a=p/q,且p/q为既约分数（即p、q互质）,q和p都是整数,则x^(p/q)=q次根号（x的p次方）,如果q是奇数,函数的定义域是R,如果q是偶数,函数的定义域是[0,＋∞）.当指数a是负整数时,设a=-k,则y=1/(x^k),显然x≠0,函数的定义域是（－∞,0)∪(0,＋∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点,一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道：排除了为0与负数两种可能,即对于x>0,则a可以是任意[实数； 排除了为0这种可能,即对于x0的所有实数,q不[能是偶数； 排除了为负数这种可能,即对于x为大于或等于0的所有实数,a就不能是负数.
编辑本段定义域
总结起来,就可以得到当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数,则函数的定义域为大于0的所有实数； 如果a为负数,则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定,即如果同时q为偶数,则x不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数,则函数的定义域为不等于0 的所有实数.在x大于0时,函数的值域总是大于0的实数.在x小于0时,则只有同时q为奇数,函数的值域为非零的实数.而只有a为正数,0才进入函数的值域.由于x大于0是对a的任意取值都有意义的,因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.
编辑本段第一象限
可以看到：（1）所有的图形都通过（1,1）这点.(a≠0) a＞0时 图象过点（0,0）和（1,1） （2）当a大于0时,幂函数为单调递增的,而a小于0时,幂函数为单调递减函数.（3）当a大于1时,幂函数图形下凸；当a小于1大于0时,幂函数图形上凸.（4）当a小于0时,a越小,图形倾斜程度越大.（5）显然幂函数无界限.（6）a=0,该函数为偶函数 ｛x|x≠0｝.
编辑本段图象