Question

已知a，b∈R，且a2+ab+b2=3，设a2-ab+b2的最大值和最小值分别为M，m，则M+m=______．

Answer 1

解题思路：令t=a²-ab+b²，由a²+ab+b²=3可得a²+b²=3-ab，结合基本不等式的性质，进而可得ab-3≤2ab≤3-ab，解可得ab的范围，又由a²+b²=3-ab，则t可变形为3-2ab，由ab的范围，可得M、m的值，代入可得答案．

令t=a²-ab+b²，

由a²+ab+b²=3可得a²+b²=3-ab，

由基本不等式的性质，-（a²+b²）≤2ab≤a²+b²，

进而可得ab-3≤2ab≤3-ab，

解可得，-3≤ab≤1，

t=a²-ab+b²=3-ab-ab=3-2ab，

故1≤t≤9，

则M=9，m=1，

M+m=10，

故答案为10．

点评：

本题考点： 基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用．

考点点评： 本题考查基本不等式的性质与运用，正确运用公式要求“一正、二定、三相等”，解题时要注意把握和或积为定值这一条件．