解题思路：先设出动点P的坐标（x，y），然后由圆的几何性质知OP⊥BC，再利用kOP•kAP=-1，求出P（x，y）满足的方程．
设P（x，y），连接OP，则OP⊥BC，…（2分）
①当x≠0时，kOP•kAP=-1，即[y/x•
y−2
x−1]=-1，即x2+y2-x-2y=0．（★）…（8分）
②点A（1，2）是方程（★）的解，…（12分）
∴该圆中经过点A（1，2）的弦的中点P的轨迹方程为x2+y2-x-2y=0（在已知圆内的部分）．…（14分）
点评：
本题考点： 轨迹方程．
考点点评： 对这个类型的题目，常用的方法有：（1）待定系数法；（2）代入法；（3）直接法；（4）定义法．其中直接法是求曲线方程最重要的方法，它可分五个步骤：①建系，②找出动点M满足的条件，③用坐标表示此条件，④化简，⑤验证；定义法是指动点的轨迹满足某种曲线的定义，然后据定义直接写出动点的轨迹方程；代入法，它用于处理一个主动点与一个被动点问题，只需找出这两点坐标之间的关系，然后代入主动点满足的轨迹方程即可．