解题思路：（1）求出函数的导数，判断导数的正负，得到函数有极小值0，无极大值．
（2）由条件可知f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，得到a的范围．
（3）当a=1时，由（2）知，f（x）在[1，+∞）内为单调增函数，即x＞1时，f（x）＞f（1）=0，即
lnx＞
1
x
−
1
x
2
(x＞1)
，就可以得到结论．
f′(x)＝
1
x+
a
x2−
2a
x3＝
x2+ax−2a
x3(x＞0)
（1）若a=1，f′(x)＝
x2+x−2
x3，令f′（x）=0，得x=1或x=-2（负值舍去）
当0＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0
∴f（x）的极小值为f（1）=0，无极大值．
（2）∵f（x）在[1，+∞）内为单调增函数
∴f′(x)＝
x2+ax−2a
x3≥0在[1，+∞）上恒成立
即x2+ax-2a≥0在[1，+∞）上恒成立
令g（x）=x2+ax-2a
当−
a
2≤1即a≥-2时，g（1）≥0，得a≤1，∴-2≤a≤1
当−
a
2＞1即a＜-2时，g(−
a
2)≥0，得-8≤a≤0，∴-8≤a＜-2
综上a的取值范围是[-8，1]
（3）当a=1时，由（2）知，f（x）在[1，+∞）内为单调增函数
即x＞1时，f（x）＞f（1）=0
即lnx＞
1
x−
1
x2(x＞1)
取x＝
n+1
n(n∈N*)
∵[n+1/n＞1
∴ln
n+1
n＞
n
n+1−
n2
(n+1)2＝
n
(n+1)2]
∴
n
i＝1
i
(i+1)2＜ln
2
1+ln
3
2+…+ln
n+1
n＝ln(n+1)
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．
考点点评： 本题主要考查了利用导数求函数的极值、函数单调性与导数之间关系的应用、数列与不等式的综合应用，用到了分类讨论、等价转化的数学思想和方法．