解题思路：（1）根据对称性求得ω的值，从而得到函数的解析式，由此求得它的周期．
（2）令
π
2
+2kπ≤x+
π
6
≤
3π
2
+2kπ
，求得x的范围，即可得到函数的单调减区间．
（1）由题可知：2ω•
π
3+
π
6＝kπ+
π
2(k∈z)，故有ω＝
1
2+
3
2k．
又∵0＜ω＜1，∴ω＝
1
2．…（3分）
∴
f(x)＝1+2sin(x+
π
6)，由此可得函数的周期为 T=2π．…（5分）
（2）令
π
2+2kπ≤x+
π
6≤
3π
2+2kπ，可得
π
3+2kπ≤x≤
4π
3+2kπ，k∈z，…（7分）
设A＝[
π
3+2kπ，
4π
3+2kπ]，B=[-π，π]，则A∩B＝[−π，−
2π
3]∪[
π
3，π]，…（9分）
故函数f（x）在[-π，π]的单调减区间为[−π，−
2π
3]和[
π
3，π]．…（10分）
点评：
本题考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．
考点点评： 本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的对称性、周期性及求法，求函数y=Asin（ωx+∅）单调区间，属于中档题．