解题思路：（Ⅰ）当a=-6时，函数f（x）=x2+ax-6图象的对称轴为直线x=3，结合二次函数的单调性，分当2＜b≤6时，当6＜b≤10时，当b＞10时，三种情况讨论满足条件的b值，最后综合讨论结果，可得答案．
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1）上与x轴有两个不同的交点，即函数f（x）=x2+ax+b的两个零点为x1，x2（0＜x1＜x2＜1），即f（0）=b=x1x2＞0，f（1）=1+a+b=（1-x1）（1-x2）＞0，进而结合基本不等式可得b2+ab+b+1的取值范围．
（Ⅰ）当a=-6时，函数f（x）=x2+ax-6图象的对称轴为直线x=3，
故f（x）在区间[1，3]单调递减，在区间[3，+∞）单调递增．
①当2＜b≤6时，f（x）在区间[1，[b/2]]上单调递减；故
f(1)＝
b
2
f(
b
2)＝1，无解；
②当6＜b≤10时，f（x）在区间[1，3]上单调递减，[3，[b/2]]上单调递增，且f（1）≥f（[b/2]），故
f(1)＝
b
2
f(3)＝1，解得b=10；
③当b＞10时，f（x）在区间[1，3]上单调递减，[3，[b/2]]上单调递增，且f（1）＜f（[b/2]），故
f(
b
2)＝
b
2
f(3)＝1，
点评：
本题考点： 二次函数的性质；函数的定义域及其求法；函数的值域．
考点点评： 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的零点，基本不等式，是函数图象和性质与不等式的综合应用，难度中档．