Question

已知数列an的前n项和Sn=3^n+t,求证:t=-1是an为等比数列的充要条件

Answer 1

充分性：

若t=-1,那么Sn=3^n-1

a1=S1=3-1=2

当n≥2时,an=Sn-S(n-1)=3^n-3^(n-1)=2*3^(n-1)

上式对n=1也成立

即an=2*3^(n-1)

a(n+1)/an=2*3^n/[2*3^(n-1)]=3

所以{an}为等比数列,公比为3

必要性:

若{an}为等比数列,

a1=S1=3+t,

a2=S2-S1=3^2+t)-(3+t)=6

a3=S3-S2=(3^3+t)-(3^2+t)=18

∵{an}为等比数列

∴a2/a1=a3/a2

即6/(t+3)=18/6=3

∴t+3=2,

t=-1

∴

t=-1是an为等比数列的充要条件