Question

高数线性代数题目 方程组基础解系中仅有两个线性无关的解向量

Answer 1

Ax = 0 的基础解系含 2 个线性无关的解向量，

则 r(A) = n-2 = 4-2 = 2

A 初等变换为

[1 2 1 2]

[0 1 t t]

[0 t-2 -1 -1]

初等变换为

[1 2 1 2]

[0 1 t t]

[0 t-1 t -1 t-1]

则 t-1 = 0， t = 1

A 初等变换为

[1 2 1 2]

[0 1 1 1]

[0 0 0 0]

初等变换为

[1 0 -1 0]

[0 1 1 1]

[0 0 0 0]

方程组同解变形为

x1 = x3

x2 = -x3-x4

取 x3=1, x4=0, 得基础解系 (1, -1, 1, 0)^T;

取 x3=0, x4=1, 得基础解系 (0, -1, 0, 1)^T;

方程组通解为 x = k(1, -1, 1, 0)^T+ c (0, -1, 0, 1)^T，

其中 k，c 为任意常数.