Question

在三角形ABC中,a b c分别是三个内角A B C所对边,已知cos(C/2)=√6/4,若三角形ABC的面积为3√1

Answer 1

cos(C/2)=√6/4

∴sin(C/2)=√10/4

ΔABC的面积为3√15/4,且sin^2 A+sin^2 B=(13/16)sin^2 C

由三角形的面积公式S=1/2absinC

可以得：1/2absinC=3√15/4

即：absinC=3√15/2--------------------------------------①

∵cosC=1-2sin^2(C/2)

∴sin^2(C/2)=(1-cosC)/2

根据已知条件可得：cosC=-1/4--------------------------②

因为三角形的每一个角要小于180度

所以可以知道C=135度

所以可以求出sinC=√15/4--------------------------------③

联合①③即可求出ab=6--------------------④

又∵sin^2A+SIN^2B=(13/16)sin^2C

可以得出a^2+b^2=(13/16)c^2---------------------------------------------⑤

又由三角形的余弦公式：c^2=a^2+b^2-2abcosC----------------------⑥

联合⑤⑥可得出c的值为4

由⑤可化解为：(a+b)^2-2ab=(13/16)c^2

即(a+b)^2=12+(13/16)*16

(a+b)^2=25

∴a+b=5----------------------------------⑦

联合④⑦可得出a=2,b=3或者a=3,b=2