Question

如图，已知抛线C：x2=4y，过点M（0，2）任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D（

Answer 1

解题思路：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设出直线AB的方程，与抛物线x²=4y联立，求出x₁x₂，利用A，B的坐标写出直线AO与BC的直线方程，解出点D的坐标，消去参数x₁，x₂，y₁，y₂，能求出D的纵坐标y₀=-2．

（2）设出切线l的方程，利用直线与抛物线相切，简化切线l的方程，进而求出N₁，N₂的坐标，由此能求出|MN₂|²-|MN₁|²的值．

（1）依题意可设AB的方程为y=kx+2，代入x²=4y，

得x²=4（kx+2），即x²-4kx-8=0．

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有x₁x₂=-8．

直线AO的方程为y=

y1

x1x，BD的方程为x=x₂，

解得交点D的坐标为

x＝x2

y＝

y1x2

x1，

x₁x₂=-8，x12=4y₁，

∴y=

y1x1x2

x12=-

8y1

4y1 =-2，

∴点D在定直线y=-2上，（x≠0），

∴D的纵坐标y₀=-2．

（2）依题意，切线l的斜率存在且不等于0．

设切线l的方程为y=ax+b（a≠0），代入x²=4y，得x²=4（ax+b），

即x²-4ax-4b=0．

由△=0得（4a）²+16b=0，化简整理得b=-a²．

故切线l的方程可写为y=ax-a²．

分别令y=2，y=-2，得N1，N2的坐标为N₁（[2/a]+a，2），N₂（-[2/a]+a，-2）

则|MN₂|²-|MN₁|²=(

2

a−a)2+42−(

2

a+a)2=8．

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查点的纵坐标的求法，考查|MN2|2-|MN1|2的值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．