Question

设m,n∈R,若直线（m+1）乘以x+（n+1）乘以y-2=0与圆（x-1）^2+（y-1）^2=1相切,则m+n的取值

Answer 1

由圆的标准方程(x－1)^2＋(y－1)^2＝1

得圆心(1,1),半径r＝1

∵直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)^2＋(y－1)^2＝1相切

∴圆心到直线的距离d＝|m＋1＋n＋1－2|/√[(m＋1)²＋(n＋1)²] ＝r＝1．

整理得m＋n＋1＝mn≤[(m＋n)/2]²

令m＋n＝t,则有t＋1≤ t²/4

即t²－4t－4≥ 0

解得t≥ 2＋2√2或t ≤2－2√2

∴m＋n的取值范围是(－∞,2－2√2]∪[2＋2√2,＋∞).