解题思路：（1）根据O是矩形ABCD的中心，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F可知，四边形OEBF为矩形，可推知各线段的数量及位置关系；
（2）延长AE交BC于H，交CF于G，由已知得
BE＝
1
2
AB
，
BF＝
1
2
BC
进而得到
BE
AB
＝
BF
BC
＝
1
2]，构造相似三角形△ABE和△CBF，根据相似三角形的性质进行判断；
（3）根据已知条件，利用勾股定理求出CF的长，进而求出OC的长，判断出△BPE∽△CPO，根据相似三角形的性质即可求出PC的长．
（1）∵O是矩形ABCD的中心，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∴AE=[1/2]AB，CF=[1/2]BC，
∵AB=[4/3]BC，
∴[1/2]AB=[1/2]×[4/3]BC，即AE=[4/3]CF；
∵AB⊥BC，点E、F分别是AB、BC上的点，
∴AE⊥CF；
故答案为AE=[4/3]CF；AE⊥CF；
（2）（1）中的结论仍然成立．
如图1，延长AE交BC于H，交CF于G，
由已知得BE＝
1
2AB，BF＝
1
2BC
∴[BE/AB＝
BF
BC＝
1
2]
∵∠ABC=∠EBF=90°，
∴∠ABE=∠CBF，
∴△ABE∽△CBF，
∴∠BAE=∠BCF，[AE/CF＝
AB
BC＝
4
3]，
∵∠BAE+∠AHB=90°，∠AHB=∠CHG，
∴∠BCF+∠CHG=90°
∴∠CGH=180°-（∠BCF+∠CHG）=90°，
∴AE⊥CF，且AE=[4/3CF．
（3）∵AB=
4
3BC，AB=8，
∴BC=6，
∴BE=OF=4，BF=OE=3，
∵点O在CF上，
∴∠CFB=90°，
∴CF=
BC2−BF2＝
62−32＝3
点评：
本题考点： 相似形综合题．
考点点评： 本题考查了相似形综合问题，借助矩形的性质，做出适当辅助线可有助于问题的解答，由于综合性较强，故难度较大．
1年前
3
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