令f(x)=xe^(1/x) ,则f(x)在(-∞,0)上和(0,+∞)上分别连续.由于x1 x2>0,故x1、x2同号.
不妨设x1、x2>0 （都小于零时同理可得）
对于1/x1、1/x2>0,由微分中值定理,必然存在1/ξ (1/ξ介于1/x1与1/x2之间,也即ξ介于x1与x2之间),使得：
f(1/x2)-f(1/x1)=(1/x2)e^x2 -(1/x1)e^x1 =f'(1/ξ)(1/x2 -1/x1)
=(1-ξ)e^ξ (1/x2 -1/x1)
两端同时乘以x1 x2得：
x1 e^x2 -x2 e^x1 =(1-ξ)e^ξ (x1 -x2)