Question

（2005•郴州）附加题：E是四边形ABCD中AB上一点（E不与A、B重合）．

Answer 1

解题思路：正方形，矩形，平行四边形图形中的三个三角形都是等高的三角形，它们的面积关系，就要看底边的关系了，由于AE+EB=CD，所以S_△ADE+S_△BCE=S_△CDE在这三个图形中都成立；梯形不具备这一特征，就不一定成立．

①S_△ADE+S_△BCE=S_△CDE

方法1：同底同高

S_△ADE+S_△BCE=

1

2AE×AD+

1

2EB×AD＝

1

2AD(AE+EB)＝

1

2AD×AB＝S△DEC．

方法2：因为过E作EF∥BC交DC于F，则四边形AEFD和EBCF是矩形

所以S_△AED=S_△EFD，S_△EBC=S_△EFC，

所以S_△ADE+S_△BCE=S_△EFD+S_△EFC=S_△DEC．

②四边形ABCD是矩形时（1）中结论成立，方法同上

当四边形ABCD是平行四边形时，结论还是成立．

③当四边形ABCD是梯形时，①中结论当E点为AB中点时成立，其它情况不成立不成立．

理由如下：

设S_△ADE=S₁，S_△BCE=S₂，S_△DEC=S₃，

梯形ABCD上底为a，下底为b面积为S，如图．

则S1＝

1

2bh1；S2＝

1

2ah2S3＝S−S1−S2＝

1

2(a+b)(h1+h2)−

1

2ah2−bh1=

1

2(ah1+bh2)

如果S_△ADE+S_△BCE=S_△DEC，则有

1

2(bh1+ah2)＝

1

2(ah1+bh2)，a（h₁-h₂）=b（h₁-h₂）．

如果h₁=h₂，则E为AB中点，如果h₁≠h₂，则a=b，四边形ABCD是平行四边形．

点评：

本题考点： 正方形的性质；矩形的性质；梯形．

考点点评： 解答本题要充分利用正方形、矩形，平行四边形的对边相等的性质；观察图形的底与高的关系，利用等底，等高的两个三角形面积相等，确定三角形的面积关系．