利用韦达定理求做一个新的一元二次方程

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    维达定理讲的就是两根的关系

    一元二次方程ax^2+bx+c=0中,两根X1,X2有如下关系:x1+x2=-b/a , x1*x2=c/a

    例1 已知p+q=198,求方程x2+px+q=0的整数根.

    设方程的两整数根为x1、x2,不妨设x1≤x2.

    由韦达定理,得 x1+x2=-p,x1x2=q.

    于是x1x2-(x1+x2)=p+q=198, 即x1x2-x1-x2+1=199.

    ∴(x1-1)(x2-1)=199.

    注意到x1-1、x2-1均为整数,

    解得x1=2,x2=200;x1=-198,x2=0.

    这些例题不够?

    二、 例题

    1、 不解方程说出下列方程的两根和与两根差:

    (1) (2) (3)

    2、 已知关于 的方程 ,是否存在负数 ,使方程的两个实数根的倒数和等于4?若存在,求出满足条件的 的值;若不存在,说明理由.

    3、 已知方程 ,作一个新的一元二次方程,使它的根分别是已知方程各根的平方的倒数.

    4、 解方程组

    5、 分解因式:

    (1) (2)

    三、 练习

    1、 在关于 的方程 中,(1)当两根互为相反数时 的值;(2)当一根为零时 的值;(3)当两根互为倒数时 的值

    2、 求出以一元二次方程 的两根的和与两根的积为根的一元二次方程.

    3、 解方程组

    4、 分解因式

    (1) = (2)

    四、 聪明题

    1、 已知一元二次方程 的两个实数根满足 , , , 分别是 的 , , 的对边.(1)证明方程的两个根都是正根;(2)若 ,求 的度数.

    2、在 中, ,斜边AB=10,直角边AC,BC的长是关于 的方程 的两个实数根,求 的值.

    韦达定理的应用:

    1.已知方程的一个根,求另一个根和未知系数

    2.求与已知方程的两个根有关的代数式的值

    3.已知方程两根满足某种关系,确定方程中

    字母系数的值

    4.已知两数的和与积,求这两个数

    5.已知方程的两根x1,x2 ,求作一个新的一元二次

    方程x2 –(x1+x2) x+ x1x2 =0

    6.利用求根公式在实数范围内分解因式ax2+bx+c

    = a(x- x1)(x- x2)

    题1:

    (1)若关于x的一元二次方程2x2+5x+k=0

    的一根是另一根的4倍,则k= ________

    (2)已知:a,b是一元二次方程x2+2000x+1=0

    的两个根,求:(1+2006a+a2)(1+2005b+b2)

    = __________

    解法一:(1+2006a+a2)(1+2005b+b2)

    = (1+2000a+a2 +6a)(1+2000b+b2 +5b)

    = 6a•5b=30ab

    解法二:由题意知

    ∵ a2 +2000a+1=0; b2 +2000b+1=0

    ∴ a2 +1=- 2000a; b2 +1=- 2000b

    ∴ (1+2006a+a2)(1+2005b+b2)

    =(2006a - 2000a)(2005b - 2000b)

    =6a•5b=30ab

    ∵ab=1, a+b=-200

    ∴(1+2006a+a2)(1+2005b+b2)

    = ( ab +2006a+a2)( ab +2005b+b2)

    =a(b +2006+a) •b( a +2005+b)

    =a(2006-2000) •b(2005-2000) =30ab

    解法三:由题意知

    ∵ a2 +2000a+1=0; b2 +2000b+1=0

    ∴ a2 +1=- 2000a; b2 +1=- 2000b

    ∴ (1+2006a+a2)(1+2005b+b2)

    =(2006a - 2000a)(2005b - 2000b)

    =6a•5b=30ab

    题2:

    已知:等腰三角形的两条边a,b是方程

    x2-(k+2)x+2 k =0的两个实数根,另

    一条边c=1,

    求:k的值.

    浅谈韦达定理在解题中的应用

    韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理.纵观近年各省、市的中考(竞赛)试题可以发现,关于涉及此定理的题目屡见不鲜,且条件隐蔽.在证(解)题时,学生往往因未看出题目中所隐含的韦达定理的条件而导致思路闭塞,或解法呆板,过程繁琐冗长.下面举例谈谈韦达定理在解题中的应用,供大家参考.

    一、直接应用韦达定理

    若已知条件或待证结论中含有a+b和a•b形式的式子,可考虑直接应用韦达定理.

    例1 在△ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,D是AB边上一点,且BC=DC,设AD=d.

    求证:

    (1)c+d=2bcosA;

    (2)c•d=b2-a2.

    分析:观察所要证明的结论,自然可联想到韦达定理,从而构造一元二次方程进行证明.

    证明:如图,在△ABC和△ADC中,由余弦定理,有

    a2=b2+c2-2bccosA;

    a2=b2+d2-2bdcosA(CD=BC=a).

    ∴ c2-2bccosA+b2-a2=0,

    d2-2bdcosA+b2-a2=0.

    于是,c、d是方程x2-2bxcosA+b2-a2=0的两个根.

    由韦达定理,有

    c+d=2bcosA,c•d=b2-a2.

    例2 已知a+a2-1=0,b+b2-1=0,a≠b,求ab+a+b的值.

    分析:显然已知二式具有共同的形式:x2+x-1=0.于是a和b可视为该一元二次方程的两个根.再观察待求式的结构,容易想到直接应用韦达定理求解.

    由已知可构造一个一元二次方程x2+x-1=0,其二根为a、b.

    由韦达定理,得a+b=-1,a•b=-1.

    故ab+a+b=-2.

    二、先恒等变形,再应用韦达定理

    若已知条件或待证结论,经过恒等变形或换元等方法,构造出形如a+b、a•b形式的式子,则可考虑应用韦达定理.

    例3 若实数x、y、z满足x=6-y,z2=xy-9.求证:x=y.

    证明:将已知二式变形为x+y=6,xy=z2+9.

    由韦达定理知x、y是方程u2-6u+(z2+9)=0的两个根.

    ∵ x、y是实数,∴△=36-4z2-36≥0.

    则z2≤0,又∵z为实数,

    ∴z2=0,即△=0.

    于是,方程u2-6u+(z2+9)=0有等根,故x=y.

    由已知二式,易知x、y是t2+3t-8=0的两个根,由韦达定理

    三、已知一元二次方程两根的关系(或系数关系)求系数关系(或求两根的关系),可考虑用韦达定理

    例5 已知方程x2+px+q=0的二根之比为1∶2,方程的判别式的值为1.求p与q之值,解此方程.

    设x2+px+q=0的两根为a、2a,则由韦达定理,有

    a+2a=-P, ①

    a•2a=q, ②

    P2-4q=1. ③

    把①、②代入③,得(-3a)2-4×2a2=1,即9a2-8a2=1,于是a=±1.

    ∴ 方程为x2-3x+2=0或x2+3x+2=0.

    解得x1=1,x2=2,或x1=-1,x2=-2.

    例6 设方程x2+px+q=0的两根之差等于方程x2+qx+p=0的两根之差,求证:p=q或p+q=-4.

    证明:设方程x2+px+q=0的两根为α、β,x2+qx+P=0的两根为α’、β’.

    由题意知α-β=α’-β’,

    故有α2-2αβ+β2=α’2-2α’β’+β’2.

    从而有(α+β)2-4αβ=(α’+β’)2-4α’β’.①

    把②代入①,有p2-4q=q2-4p,即p2-q2+4p-4q=0,即(p+q)(p-q)+4(p-q)=0,即(p-q)(p+q+4)=0.

    故p-q=0或p+q+4=0,

    即p=q或p+q=-4.

    四、关于两个一元二次方程有公共根的题目,可考虑用韦达定理

    例7 m为问值时,方程x2+mx-3=0与方程x2-4x-(m-1)=0有一个公共根?并求出这个公共根.

    设公共根为α,易知,原方程x2+mx-3=0的两根为α、-m-α;x2-4x-(m-1)=0的两根为α、4-α.

    由韦达定理,得α(m+α)=3, ①

    α(4-α)=-(m-1). ②

    由②得m=1-4α+α2, ③

    把③代入①得α3-3α2+α-3=0,

    即(α-3)(α2+1)=0.

    ∵α2+1>0,∴α-3=0即α=3.

    把α=3代入③,得m=-2.

    故当m=-2时,两个已知方程有一个公共根,这个公共根为3.