Question

求证：偶阶反对称方阵的行列式为一完全平方.感激不尽.

Answer 1

少了个条件：矩阵的元素都是整数.

用数学归纳法.

如果反对称矩阵 A 是奇数阶,那么 |A| = 0,是个完全平方数.

如果是偶数阶,归纳假设 <=2k 的反对称矩阵 |A| = 完全平方数,现证 n=2k+2 阶的.

反对称矩阵的对角元素都是0.

如果第1行元素全是0,那么 |A| = 0 是个完全平方数.

如果第1行有1个元素不是0,不妨设 a_{1,2} 不是 0.

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