Question

设f（x）在【0,a】上连续,在（0,a）内可导,且f（0）=f（a）,求证：存在 ζ∈（0

Answer 1

题目有误,应改为：

已知：设f（x）在 [0,2a] 上连续,在（0,2a）内可导,且f（0）=f（2a）,

求证：存在 ζ∈ [0,a],使得f( ζ)=f( ζ+a) .

证明：令 F(x) = f(x)-f(x+a) ,

由已知可得,F(x) 在 [0,a] 上连续,在（0,a）上可导,

并且 F(0) = f(0)-f(a) = f(2a)-f(a) = -[f(a)-f(2a)] = -F(a) ,

如果 F(0) = -F(a) = 0 ,取 ζ = 0 则结论成立；

如果 F(0) = -F(a) ≠ 0 ,则 F(0)*F(a) < 0 ,

由零点存在定理知,存在 ζ∈(0,a) 使 F(ζ) = 0 ,即 f(ζ) - f(ζ+a) = 0 ,

所以 f(ζ) = f(ζ+a) .