已知二次函数Y=X平方-（M平方+8）+2(M平方 - 知识问答

已知二次函数Y=X平方-（M平方+8）+2(M平方+6）求证无论M值为任何实数,都与X轴有两个交点且两个交点都在正半轴上

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Y = X^2 - (M^2+8)X + 2(M^2+6)
令X^2 - (M^2+8)X + 2(M^2+6) = 0
根据韦达定理：
X1+X2 = (M^2+8) ≥8 ＞0
X1X2 = 2(M^2+6) ≥12 ＞0
X1X2＞0,∴X1、X2同号
又：X1+X2 ＞0
∴X1、X2都大于0
即方程有两个正根,相当于函数与X轴有两个交点且两个交点都在正半轴上
与x交与BC,设于Y交与A
|BC| = |X2-X1| =√{ (X1+X2)^2-4X1X2 } = √{ (M^2+8)^2-4*2(M^2+6) } = √(M^4+8M^2+16) = M^2+4
令X=0,Y=2(M^2+6),即BC边上的高2(M^2+6)
S三角形=48
1/2 * (M^2+4)*2(M^2+6) = 48
M^4+10M^2-24=0
(M^2+12)(M^2-2)=0
M^2+12≠0
∴M^2-2 = 0
M = ±2
如果P点在x轴上方,则PBC或PCB必大于90°,无法构成直角三角形,所以P点必在x轴下方,此时PBC,PCB均小于90°,所以直角只能是BPC
假设能构成等腰直角三角形,则P必须在对称轴上,所以P点必须在抛物线的顶点
P点纵坐标=ymin = { 4*2(M2+6)-(M2+8)^2 } / { 4*2(M2+6) } = -(M^2+4)^2 / { 8(M^2+6) }
相当于等腰直角三角形斜边上的高=|ymin| = (M^2+4)^2 / { 8(M^2+6) }
直角三角形斜边上的高等于斜边的一半：
(M^2+4)^2 / { 8(M^2+6) } = |BC|/2 = (M^2+4)/2
(M^2+4) / { 8(M^2+6) } = 1/2
2M^2+8 = 8M^2+ 48
6M^2+40=0无解
∴不存在顶点P能使PBC为等腰直角三角形

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