Question

（2010•重庆）如图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P（点P不在C上）且半径

Answer 1

解题思路：根据cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ公式的逆运算得到

cos

α

1

3

cos

α

2

+

α

3

3

−sin

α

1

3

sin

α

2

+

α

3

3

＝cos

α

1

+

α

2

+

α

3

3

，由题意可知，α₁+α₂+α₃=2π得到cos

α

1

+

α

2

+

α

3

3

=cos[4π/3]=

−

1

2

．

cos

α1

3cos

α2+α3

3−sin

α1

3sin

α2+α3

3＝cos

α1+α2+α3

3，方法

可令同过P点的三圆的交点分别是A，B，C，连接PA，PB，PC，可得得出∠APB+∠APC+∠BPC=2π

因为在各个圆的半径相等，故此三个角的大小都为[2π/3]

由于在圆中同弦所对的圆周角互补，故在各个圆中，AB，BC，CA所与三角相对的圆周角为[π/3]

故AB，BC，CA所对的圆心角是[2π/3]，

又α₁+α₂+α₃=2π，所以cos

α1+α2+α3

3＝−

1

2．

故答案为：−

1

2．

点评：

本题考点： 两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．

考点点评： 此题考查学生利用两角和与差的余弦函数的能力．