Question

已知a、b是两个非零向量,证明：b与a+λb（λ∈R）垂直时,|a+λb|取到最小值

Answer 1

证明：可设a=(x1,y1),b=(x2,y2).则有a+tb=(x1+tx2,y1+ty2).且b(a+tb)=(x1x2+y1y2)+t(x2^2+y2^2).易知,|a+tb|^2=(x2^2+y2^2)t^2+2(x1x2+y1y2)t+(x1^2+y1^2).显然,当t=-(x1x2+y1y2)/(x2^2+y2^2)时,|a+tb|有最大值.而此时,（x1x2+y1y2)+(x2^2+y2^2)t=0.b(a+tb)=0b与a+tb垂直.