解题思路:(1)由切线的性质知∠AOB=∠OAD=∠ADB=90°,所以可以判定四边形OADB是矩形;根据⊙O的半径是4求得直径AD=8,从而求得点P的坐标,将其代入直线方程y=kx+6即可知p变化的函数关系式;
(2)连接DN.∵直径所对的圆周角是直角,∴∠AND=90°,∴根据图示易证∠AND=∠ABD;然后根据同弧所对的圆周角相等推知∠ADN=∠AMN,再由等量代换可知∠ABD=∠AMN;最后利用相似三角形的判定定理证明△AMN∽△ABP;
(3)存在.把x=0代入y=kx+6得y=6,即OA=BD=6,然后由勾股定理求得AB=10;又由相似三角形的相似比推知相似三角形的面积比.分两种情况进行讨论:①当点P在B点上方时,由相似三角形的面积比得到k2-4k-2=0,解关于k的一元二次方程;②当点P在B点下方时,由相似三角形的面积比得到k2+4k+4=0,解关于k的一元二次方程.
(1)∵y轴和直线l都是⊙C的切线,
∴OA⊥AD,BD⊥AD;
又∵OA⊥OB,
∴∠AOB=∠OAD=∠ADB=90°,
∴四边形OADB是矩形;
∵⊙C的半径为4,
∴AD=OB=8;
∵点P在直线l上,
∴点P的坐标为(8,p);
又∵点P也在直线AP上,
∴p=8k+6;
(2)连接DN.
∵AD是⊙C的直径,
∴∠AND=90°,
∵∠ADN=90°-∠DAN,∠ABD=90°-∠DAN,
∴∠ADN=∠ABD,
又∵∠ADN=∠AMN,
∴∠ABD=∠AMN,
∵∠MAN=∠BAP,
∴△AMN∽△ABP;
(3)存在.
理由:把x=0代入y=kx+6得:y=6,即OA=BD=6,
AB=
AD2+BD2=
82+62=10,
∵S△ABD=[1/2]AB•DN=[1/2]AD•DB
∴DN=[AD×BD/AB]=[8×6/10]=[24/5],
∴AN2=AD2-DN2=82-([24/5])2=[1024/25],
∵△AMN∽△ABP,
∴
S△AMN
S△ABP=([AN/AP])2,即S△AMN=([AN/AP])2•S△ABP=
AN2S△ABP
AP2,
当点P在B点上方时,
∵AP2=AD2+PD2=AD2+(PB-BD)2=82+(8k+6-6)2=64(k2+1),
或AP2=AD2+PD2=AD2+(BD-PB)2=82+(6-8k-6)2=64(k2+1),
S△ABP=[1/2]PB•AD=[1/2](8k+6)×8=8(4k+3),
∴S△AMN=
AN2S△ABP
AP2=
1024×8(4k+3)
25×64(k2+1)=
128(4k+3)
25(k2+1)=[128/25],
整理得:k2-4k-2=0,
解得k1=2+
6,k2=2-
6,
当点P在B点下方时,
∵AP2=AD2+PD2=82+(6-8k-6)2=64(k2+1),
S△ABP=[1/2]PB•AD=[1/2][-(8k+6)]×8=-8(4k+3),
∴S△AMN=
AN2S△ABP
AP2=-
1024×8(4k+3)
25×64(k2+1)=[128/25]
化简得:k2+4k+4=0,
解得:k1=k2=-2,
综合以上所得,当k=2±
6或k=-2时,△AMN的面积等于[128/25].
点评:
本题考点: 圆的综合题.
考点点评: 本题主要考查了梯形的性质,矩形的判定,相似三角形的判定和性质以及一次函数的综合应用,要注意的是(3)中,要根据P点的不同位置进行分类求解.