解题思路：（1）由题意可得：f′（x）=-
ln(x+1)+1
(x+1)
2
ln(x+1)
2
，令f′（x）＞0，可得-1＜x＜
1/e]-1时，故函数在区间（-1，[1/e]）内单调递增；令f′（x）＜0，即[1/e]-1＜x＜0或x＞0，所以函数在区间（[1/e
−1
，0）和（0，+∞）内单调减．
（2）由f′（x）=-
ln(x+1)+1
(x+1)
2
ln(x+1)
2
]=0可得x=[1/e
−1
，利用函数的单调性得到函数的最大值，再分析当x从-1的右边靠近-1时，f（x）→-∞；当x从0的左边靠近0时，f（x）→-∞；在区间（0，+∞）上f（x）是增函数，并且f（x）＞0，当x从0的右边靠近0时，f（x）→+∞；当x→+∞时，可得f（x）→0．
（3）由题意可得对原不等式两边取自然对数得：
1
x+1
ln2＞mln(x+1)
，所以
m＞
ln2
(x+1)ln(x+1)]，对x∈（-1，0）恒成立，进而构造出新的函数求出新函数的最大值即可解决问题．
（1）f′（x）=-
ln(x+1)+1
(x+1)2ln(x+1)2，
所以当f′（x）＞0，即ln（x+1）+1＜0，即ln（x+1）＜-1，所以x+1＜
1/e]，即-1＜x＜[1/e]-1，故函数在区间（-1，[1/e]-1）内单调递增；
当f′（x）＜0，即[1/e]-1＜x＜0或x＞0，所以函数在区间（[1/e−1，0）和（0，+∞）内单调减．
故函数的单调增区间为（-1，
1
e]-1），单调减区间为（[1/e−1，0）和（0，+∞）．
（2）由f′（x）=-
ln(x+1)+1
(x+1)2ln(x+1)2]=0可得x=[1/e−1，
由（1）可得f（x）在（-1，
1
e]-1）内单调递增，在（[1/e−1，0）内单调减，
所以在区间（-1，0）上，当x=
1
e−1时，f（x）取得极大值即最大值为f（
1
e−1）=-e．
又因为当x从-1的右边靠近-1时，0＜x+1＜1，所以x→-1时f（x）→-∞；当x从0的左边靠近0时，f（x）→-∞；
所以当x∈（-1，0）时，f（x）∈（-∞，-e]．
在区间（0，+∞）上f（x）是减函数，并且f（x）＞0，
当x从0的右边靠近0时，f（x）→+∞；当x→+∞时，由函数的解析式可得f（x）→0．
所以当x∈（0，+∞）时，f（x）∈（0，+∞）．
故f（x）的值域为（-∞，-e]∪（0，+∞）
（3）∵-1＜x＜0，∴0＜x+1＜1，从而1＜
1
x+1]，
由题意可得：[1
2x+1＞（x+1）m对任意x∈（-1，0）恒成立，
所以两边取自然对数得：
1/x+1ln2＞mln(x+1)
所以m＞
ln2
(x+1)ln(x+1)]，对x∈（-1，0）恒成立，则m大于[ln2
(x+1)ln(x+1)的最大值，
由（2）可得当x∈（-1，0）时，f（x）=
1
(x+1)ln(x+1)∈（-∞，-e]，
所以
ln2
(x+1)ln(x+1)取得最大值为-eln2，所以m＞-eln2．
所以实数m的取值范围为（-eln2，+∞）．
点评：
本题考点： 函数的值域；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 解决此类问题的关键是熟练掌握有关导数的运算，以及利用得到求函数的最值与球函数的单调区间等问题，此类问题一般以解答题的形式出现．
1年前
6
kelly_8484
幼苗
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因-1
0,所以不等式可化为2/【（x+1）*（x+1）】>m, 因2/【（1+x）*（1+x）】>2,故
m<=2
1年前
2
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