开普勒第一定律的证明
设太阳与行星质量分别 M和m,取平面极作标系,行星位置用（r,α）来描述.如图行星位置矢量 是垂直单位矢量.
行星受太阳引力为F=-(GMm/r)r°
首先证明行星一定在同一平面内运动,有牛顿第二定律：F=m(dv/dt)
力矩r×F=-(GMm/r)r°×r°=0.即r×(dv/dt)=0.
d(r×v)/dt=×v+r×dv/dt=0.
积分,得r×v=h(常矢量)
上式表明,行星径矢 r始终与常矢量h正交,故行星一定在同一平面内运动.
为了得出行星运动的轨迹,采用图中平面极坐标方向
,取静止的太阳为极点o,行星位置为(r,α).在平面
极坐标中,行星运动有关物理量如下：
径行r=r·r° ；速度v=dr/dt=(dr/dt)·r°+r·(dα/dt)·α°
r°是径向单位矢量,α°为径向垂直单位矢量.
dr/dt是径向速度分量, r·(dα/dt)是横向速度分量
速度大小满足v²=(dr/dt)²+( r·(dα/dt))²
动量mv=m(dr/dt)+m( r·(dα/dt))
角动量L=r×mv=m•r²(dα/dt)•(r°×α°)
得L=m•r ²•(dα/dt)
行星所受的太阳引力指向o点,故对o点力矩M=0,由角动量定理,知角动量守恒.L为常量
太阳行星系统的机界能守恒,设系统总能量为E,则
E=½mv²-GMm/r
因 α/dt=L/mv² dr/dt= (L/mv²)(dr/dα)代入上式
(L²/m²r²r²)(dr/dα)²+ L²/m²r=2E/m+2GM/r
上边两式同乘m²/ L²,得
dr²/dα²r²r²+1/r²=2mE/L²+2Mm²/L²r
为了简化式子,令ρ=1/r.则dr/dα=-r²(dρ/dα)
于是方程变为（dr/dα）²+ρ²-2Gm²Mρ/L²=2mE/L²
上式对α求导.并注意E与L为常量.得
2（dr/dα）（d²r/dα²）+2ρ(dρ/dα)
-GMm/L²(dρ/dα)=0
在通过数学推导便得出开普勒第一定律.